関数 $y = xe^{x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は、$x$ と $e^{x^2}$ の積の形をしているので、積の微分公式を使います。

積の微分公式は、$(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = x$、$v = e^{x^2}$ とおきます。

$u = x$ なので、$u' = 1$ です。

$v = e^{x^2}$ なので、$v'$ を求めるには合成関数の微分を使います。

$w = x^2$ とおくと、$v = e^w$ となり、$dw/dx = 2x$、$dv/dw = e^w$ です。

よって、

$v' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \frac{dw}{dx} = e^w \cdot 2x = 2xe^{x^2}$ となります。

積の微分公式にこれらを代入すると、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot 2xe^{x^2} = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2} = e^{x^2}(1 + 2x^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2}(1 + 2x^2)$