重積分 $\iint_D \frac{x^2+y^2}{(x+y)^3} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) \mid 1 \le x+y \le 3, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で計算します。ただし、変数変換 $x+y=u, x-y=v$ を用います。

1. 問題の内容

重積分 $\iint_D \frac{x^2+y^2}{(x+y)^3} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) \mid 1 \le x+y \le 3, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で計算します。ただし、変数変換 $x+y=u, x-y=v$ を用います。

2. 解き方の手順

(1) 変数変換を行います。

$x+y=u$ および $x-y=v$ を与えられています。

$x$ と $y$ について解くと、

$x = \frac{u+v}{2}$ および $y = \frac{u-v}{2}$ となります。

(2) 積分領域を変換します。

$1 \le x+y \le 3$ は $1 \le u \le 3$ になります。

$x \ge 0$ は $\frac{u+v}{2} \ge 0$ より $v \ge -u$ になります。

$y \ge 0$ は $\frac{u-v}{2} \ge 0$ より $v \le u$ になります。

したがって、新しい積分領域は $1 \le u \le 3, -u \le v \le u$ となります。

(3) ヤコビアンを計算します。

ヤコビアンは

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

絶対値 $|J| = \frac{1}{2}$ を使用します。

(4) 被積分関数を変換します。

$x^2 + y^2 = (\frac{u+v}{2})^2 + (\frac{u-v}{2})^2 = \frac{u^2 + 2uv + v^2}{4} + \frac{u^2 - 2uv + v^2}{4} = \frac{2u^2 + 2v^2}{4} = \frac{u^2+v^2}{2}$.

$(x+y)^3 = u^3$.

したがって、

$\frac{x^2+y^2}{(x+y)^3} = \frac{\frac{u^2+v^2}{2}}{u^3} = \frac{u^2+v^2}{2u^3}$.

(5) 積分を実行します。

$\iint_D \frac{x^2+y^2}{(x+y)^3} \, dxdy = \int_1^3 \int_{-u}^u \frac{u^2+v^2}{2u^3} |J| \, dvdu = \int_1^3 \int_{-u}^u \frac{u^2+v^2}{2u^3} \cdot \frac{1}{2} \, dvdu = \frac{1}{4} \int_1^3 \int_{-u}^u \frac{u^2+v^2}{u^3} \, dvdu$.

$\int_{-u}^u \frac{u^2+v^2}{u^3} \, dv = \int_{-u}^u (\frac{1}{u} + \frac{v^2}{u^3}) \, dv = [\frac{v}{u} + \frac{v^3}{3u^3}]_{-u}^u = (\frac{u}{u} + \frac{u^3}{3u^3}) - (\frac{-u}{u} + \frac{-u^3}{3u^3}) = (1 + \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

$\frac{1}{4} \int_1^3 \frac{8}{3} \, du = \frac{2}{3} \int_1^3 \, du = \frac{2}{3} [u]_1^3 = \frac{2}{3} (3-1) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$.

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$