関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + |x|^n}$ について、$f(\frac{1}{2})$, $f(1)$ の値を求め、区間$(-\infty, -1)$ および $(-1, 1)$ における$f(x)$が定数関数であるかどうか、その定数の値、および $\lim_{x \to 1+0} f(x)$ の値を求め、$f(x)$が$x=1$において連続かどうかを判定する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + |x|^n}$ について、$f(\frac{1}{2})$, $f(1)$ の値を求め、区間$(-\infty, -1)$ および $(-1, 1)$ における$f(x)$が定数関数であるかどうか、その定数の値、および $\lim_{x \to 1+0} f(x)$ の値を求め、$f(x)$が$x=1$において連続かどうかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、$f(\frac{1}{2})$ を計算する。$x = \frac{1}{2}$ のとき $|x| = \frac{1}{2} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} |x|^n = 0$ となる。したがって、

$f(\frac{1}{2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^n} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

次に、$f(1)$ を計算する。$x = 1$ のとき $|x| = 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} |x|^n = 1$ となる。したがって、

$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1^n} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

次に、区間 $(-\infty, -1)$ における $f(x)$ を考える。$x < -1$ のとき、 $|x| > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} |x|^n = \infty$ となる。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + |x|^n} = 0$

この区間において、$f(x)$ は定数関数であり、その定数は0である。

次に、区間 $(-1, 1)$ における $f(x)$ を考える。$-1 < x < 1$ のとき、 $|x| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} |x|^n = 0$ となる。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + |x|^n} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

この区間において、$f(x)$ は定数関数であり、その定数は1である。

次に、$\lim_{x \to 1+0} f(x)$ を計算する。$x \to 1+0$ のとき、$x > 1$ なので、$|x| > 1$ であり、$\lim_{n \to \infty} |x|^n = \infty$ となる。したがって、

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + |x|^n} = 0$

最後に、$f(x)$ が $x = 1$ において連続かどうかを判定する。$f(1) = \frac{1}{2}$ であり、$\lim_{x \to 1+0} f(x) = 0$ である。また、$\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1$ である。したがって、$f(x)$ は $x = 1$ において連続ではない。

3. 最終的な答え

$f(\frac{1}{2}) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$

区間 $(-\infty, -1)$ において $f(x)$ は定数関数であり、その定数は $0$ である。

区間 $(-1, 1)$ において $f(x)$ は定数関数であり、その定数は $1$ である。

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = 0$

$f(x)$ は、$x = 1$ において連続ではない。