関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開して簡略化します。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}$

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1})$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(1) = 0$

$\frac{d}{dx}(-2x^{-\frac{1}{2}}) = -2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} = x^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-1 - 1} = -x^{-2}$

したがって、

$f'(x) = 0 + x^{-\frac{3}{2}} - x^{-2} = x^{-\frac{3}{2}} - x^{-2} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

通分すると

$f'(x) = \frac{x - \sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{x^2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$