関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ であり、$x > 0$ です。この関数 $f(x)$ の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$

であり、$x > 0$ です。この関数 $f(x)$ の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の値によって極限を計算します。

* $0 < x < 1$ のとき、$x^{2n} \to 0$ as $n \to \infty$ なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \frac{0}{1+0} = 0$ となります。

* $x = 1$ のとき、

$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2n+1}}{1+1^{2n}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ となります。

* $x > 1$ のとき、$x^{2n} \to \infty$ as $n \to \infty$ なので、分子と分母を $x^{2n}$ で割ると、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{x^{-2n}+1} = \frac{x}{0+1} = x$ となります。

したがって、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

\frac{1}{2} & (x = 1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}$

次に、連続性を調べます。

* $0 < x < 1$ のとき、$f(x) = 0$ であり、定数関数なので連続です。

* $x > 1$ のとき、$f(x) = x$ であり、一次関数なので連続です。

* $x = 1$ での連続性を確認します。

* 左からの極限: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$

* 右からの極限: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

* 関数値: $f(1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ なので、$x=1$ で $f(x)$ は連続ではありません。

また、$f(1)$ は左からの極限とも右からの極限とも等しくありません。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x > 0$ において、$x=1$ で不連続です。