関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を導関数の定義に従って微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を導関数の定義に従って微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h}$

分子を通分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{(x+h)^2x^2}}{h}$

分子を展開し、整理します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h(x+h)^2x^2}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{h(x+h)^2x^2}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h(x+h)^2x^2}$

$h$ で約分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{(x+h)^2x^2}$

$h \to 0$ の極限を計算します。

$f'(x) = \frac{-2x}{(x+0)^2x^2}$

$f'(x) = \frac{-2x}{x^4}$

$f'(x) = \frac{-2}{x^3}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$