関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を、導関数の定義に従って微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を、導関数の定義に従って微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

この定義を使って $f(x) = (2x - 1)^3$ の導関数を計算します。

まず、$f(x + h)$ を計算します。

$f(x + h) = (2(x + h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x + h) - f(x)$ を計算します。

$f(x + h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x + 2h - 1$ および $B = 2x - 1$ と置くと、$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ であるため、

$f(x + h) - f(x) = (2x + 2h - 1 - (2x - 1))((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= (2h)((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

したがって、$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(2h)((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)}{h} = 2((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

最後に、極限を取ります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 2((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= 2((2x - 1)^2 + (2x - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= 2(3(2x - 1)^2)$

$= 6(2x - 1)^2$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x - 1)^2$