与えられた関数 $f(x,y)$ について、以下の問いに答える。 (1) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めよ。 (2) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であることを示せ。 ただし、 $ f(x,y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & ((x,y) \ne (0,0)) \\ 0 & ((x,y) = (0,0)) \end{cases} $ とする。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ について、以下の問いに答える。

(1) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めよ。

(2) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であることを示せ。

ただし、

$$

f(x,y) =

\begin{cases}

xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & ((x,y) \ne (0,0)) \\

0 & ((x,y) = (0,0))

\end{cases}

$$

とする。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分 $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ は定義に従って求める。

$$

f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}

$$

$$

f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}

$$

(2) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であることを示すためには、以下の式を満たす必要がある。

$$

\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(0+h, 0+k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0

$$

(1)

$$

f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 0 \cdot \sin \frac{1}{\sqrt{h^2+0^2}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

$$

$$

f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 \cdot k \cdot \sin \frac{1}{\sqrt{0^2+k^2}} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0

$$

(2) 全微分可能性を調べる。

$$

\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h, k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk \sin \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} - 0 - 0 \cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2 + k^2}}

$$

$$

= \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk \sin \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2 + k^2}}

$$

ここで、$h = r\cos\theta, k = r\sin\theta$ とおくと、

$$

\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{\sqrt{r^2}}}{\sqrt{r^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{r}}{r} = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{r}

$$

$$

|\cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{r}| \le 1

$$

であるから、

$$

\lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{r} = 0

$$

したがって、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能である。

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0,0) = 0$, $f_y(0,0) = 0$

(2) $f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能である。