$f(x) = \tan x$のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$を証明する。また、空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める。

1. 問題の内容

$f(x) = \tan x$のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$を証明する。また、空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義より

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x+h) - \tan x}{h}$

アに入るのは$\tan(x+h)$

次に、$\tan(x+h) = \frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}$、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$を代入する。

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\sin x}{\cos x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) \cos x - \sin x \cos(x+h)}{h \cos(x+h) \cos x}$

イには$\sin(x+h) \cos x - \sin x \cos(x+h)$が入る

ここで、三角関数の加法定理$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$より、$\sin(x+h) \cos x - \sin x \cos(x+h) = \sin((x+h)-x) = \sin h$となる。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h \cos(x+h) \cos x}$

ウには$\sin h$が入る

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos(x+h) \cos x}$

エには$\frac{\sin h}{h}$が入る

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(x+h) \cos x}$を計算する。$h \to 0$のとき、$\cos(x+h) \to \cos x$なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(x+h) \cos x} = \frac{1}{\cos x \cos x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

オには1が入る

3. 最終的な答え

ア: $\tan(x+h)$

イ: $\sin(x+h) \cos x - \sin x \cos(x+h)$

ウ: $\sin h$

エ: $\frac{\sin h}{h}$

オ: 1

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$