関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x+1}$ であり、$a = 2$ であるから、

$f(2) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

$f(2+h) = \frac{1}{(2+h)+1} = \frac{1}{3+h}$

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{3+h} - \frac{1}{3}}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{3+h} - \frac{1}{3}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - (3+h)}{3(3+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{3(3+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{3h(3+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{3(3+h)} = \frac{-1}{3(3+0)} = \frac{-1}{3(3)} = -\frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{9}$