$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って $f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。画像は証明の途中経過を示しており、空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って $f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。画像は証明の途中経過を示しており、空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ に $f(x) = \cos x$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$

次に、$\cos(x+h)$ に加法定理 $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ を適用します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

分子を整理します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

この式を分割して、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ および $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ を利用できるように変形します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ を計算するために、分子と分母に $\cos h + 1$ を掛けます。

$\frac{\cos h - 1}{h} = \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} = -1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0$

したがって、

$f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

画像内の空欄を埋める場合：

ア: $\cos(x+h)$

イ: $\cos x \cos h - \sin x \sin h$

ウ: $\cos h - 1$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\sin x$