与えられた8個の関数に対して、n次導関数 ($n \geq 1$)を求める。

1. 問題の内容

与えられた8個の関数に対して、n次導関数 ($n \geq 1$)を求める。

2. 解き方の手順

各関数のn次導関数を計算する。

(1) $y = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$y' = -1(1+x)^{-2}$

$y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3}$

$y''' = (-1)(-2)(-3)(1+x)^{-4}$

一般に、$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y = \log(1-x)$

$y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$y'' = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

$y''' = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

$y^{(n)} = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y = (1+x)^a$

$y' = a(1+x)^{a-1}$

$y'' = a(a-1)(1+x)^{a-2}$

$y''' = a(a-1)(a-2)(1+x)^{a-3}$

$y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

$y' = 2xe^{2x} + 2x^2 e^{2x} = (2x^2+2x)e^{2x}$

$y'' = (4x+2)e^{2x} + 2(2x^2+2x)e^{2x} = (4x^2+8x+2)e^{2x}$

$y^{(n)} = [2^n x^2 + 4n2^{n-1} x + n(n-1)2^{n-2}] e^{2x}$

(5) $y = 3^x (x^2 + x)$

$y = e^{x \ln 3}(x^2 + x)$

$y' = e^{x \ln 3} \ln 3 (x^2+x) + e^{x \ln 3} (2x+1)$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (3^x)^{(k)} (x^2+x)^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\ln 3)^k 3^x (x^2+x)^{(n-k)}$

(6) $y = x^2 \cos(2x)$

$y' = 2x \cos(2x) - 2x^2 \sin(2x)$

$y'' = 2 \cos(2x) - 4x \sin(2x) - 4x \sin(2x) - 4x^2 \cos(2x) = (2 - 4x^2) \cos(2x) - 8x \sin(2x)$

Leibnizの公式を用いる

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (\cos(2x))^{(n-k)}$

$y^{(n)} = x^2 (cos(2x))^{(n)} + nx^2 (\cos(2x))^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2}(2) (\cos(2x))^{(n-2)}$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-2)$.

$x = -1 \Rightarrow 1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$

$x = 2 \Rightarrow 1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1} \right) = \frac{1}{3} \left( (x-2)^{-1} - (x+1)^{-1} \right)$

$y^{(n)} = \frac{1}{3} \left( (-1)^n n! (x-2)^{-n-1} - (-1)^n n! (x+1)^{-n-1} \right)$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

$y' = \frac{e^x (1-x) - e^x (-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{e^x (2-x)}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y^{(n)} = [2^n x^2 + 4n2^{n-1} x + n(n-1)2^{n-2}] e^{2x}$

(5) $y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\ln 3)^k 3^x (x^2+x)^{(n-k)}$

(6) $y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (\cos(2x))^{(n-k)}$

(7) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$

(8) $y^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{e^x}{1-x} \right)$

Leibnizの公式を使う必要があるが、明確な式はない。