次の関数の増減表を作成し、グラフを描画する問題です。ここでは、(1) $y = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x + \frac{1}{3}$ を解きます。

1. 問題の内容

次の関数の増減表を作成し、グラフを描画する問題です。ここでは、(1) $y = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x + \frac{1}{3}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。

$y' = 2x^2 + 2x - 4$

(2) $y' = 0$となる$x$の値を求めます。これは、関数$y$の極値を与える$x$座標です。

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

したがって、$x = -2, 1$

(3) 増減表を作成します。増減表には、$x$, $y'$, $y$ の行を含めます。$y'$の符号を調べるために、$x < -2$, $-2 < x < 1$, $x > 1$ の範囲で$y'$の符号を調べます。

* $x < -2$のとき、例えば$x = -3$とすると、$y' = 2(-3)^2 + 2(-3) - 4 = 18 - 6 - 4 = 8 > 0$

* $-2 < x < 1$のとき、例えば$x = 0$とすると、$y' = 2(0)^2 + 2(0) - 4 = -4 < 0$

* $x > 1$のとき、例えば$x = 2$とすると、$y' = 2(2)^2 + 2(2) - 4 = 8 + 4 - 4 = 8 > 0$

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

(4) $x = -2$のときの$y$の値と、$x = 1$のときの$y$の値を求めます。

$x = -2$のとき、

$y = \frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}(-8) + 4 + 8 + \frac{1}{3} = -\frac{16}{3} + 12 + \frac{1}{3} = \frac{-16 + 36 + 1}{3} = \frac{21}{3} = 7$

$x = 1$のとき、

$y = \frac{2}{3}(1)^3 + (1)^2 - 4(1) + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 1 - 4 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - 3 = 1 - 3 = -2$

したがって、極大値は $7$ ($x = -2$)、極小値は $-2$ ($x = 1$)です。

3. 最終的な答え

増減表：

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 7 | 減少 | -2 | 増加 |

極大値: $7$ ($x = -2$)

極小値: $-2$ ($x = 1$)

グラフの概形は、x = -2 で極大値7をとり、x = 1で極小値-2をとる3次関数になります。