与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

極限を求めるために、式を変形します。

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$ を掛けて割ります。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子を展開します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 3x + 1) - (4x^2)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子と分母を $x$ で割ります。分母では$\sqrt{x^2} = |x|$ なので、$x \to \infty$ では $\sqrt{x^2} = x$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

これは不定形なので、別のやり方を試みます。

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = 2x\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{4x} \to 0$ および $\frac{1}{4x^2} \to 0$ なので、テイラー展開または二項定理を利用します。

$\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{1}{2}u$（$u$ が小さいとき）

$u = -\frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}$とすると、

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} \approx 2x(1 + \frac{1}{2}(-\frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2})) = 2x(1 - \frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2}) = 2x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} (2x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x} + 2x) = \lim_{x \to \infty} (4x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x})$

この極限は $\infty$ に発散します。

再度、確認します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + 1/x}{\sqrt{4 - 3/x + 1/x^2} - 2}$

分子は -3に近づき、分母は $\sqrt{4} - 2 = 0$に近づきます。

$x$ が大きいとき、$4x^2 - 3x + 1$ は $4x^2$よりわずかに小さいため、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} < 2x$。したがって、分母は負の方向から0に近づきます。

よって、極限は $\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

$\infty$