次の3つの関数について、$n$次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。 (1) $y = x^m$ ($m$は自然数) (2) $y = e^x$ (3) $y = \sin x$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、$n$次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。

(1) $y = x^m$ ($m$は自然数)

(2) $y = e^x$

(3) $y = \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^m$ の場合

まず、1次導関数、2次導関数を計算して規則性を見つけます。

$y' = mx^{m-1}$

$y'' = m(m-1)x^{m-2}$

$y''' = m(m-1)(m-2)x^{m-3}$

...

$y^{(n)} = m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n}$

$y^{(n)} = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$

ただし、$n > m$ のとき、$y^{(n)} = 0$ となります。

(2) $y = e^x$ の場合

$y' = e^x$

$y'' = e^x$

...

$y^{(n)} = e^x$

(3) $y = \sin x$ の場合

$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$y'' = -\sin x = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

$y''' = -\cos x = \sin(x + 3\frac{\pi}{2})$

$y^{(4)} = \sin x = \sin(x + 4\frac{\pi}{2})$

...

$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^m$ のとき、$y^{(n)} = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$ (ただし、$n \le m$ のとき). $n > m$のとき $y^{(n)} = 0$.

(2) $y = e^x$ のとき、$y^{(n)} = e^x$

(3) $y = \sin x$ のとき、$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$