$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to \infty$ での極限を考えるので、$\sqrt{x^2+4x}$を$x$の式で近似することを考える。

$\sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})} = |x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}$ である。$x \to \infty$ なので、$x>0$と考えてよい。

$\sqrt{x^2+4x} = x \sqrt{1+\frac{4}{x}}$

$\sqrt{1+t}$ を $t=0$ の周りでテイラー展開すると、$\sqrt{1+t} \approx 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + \dots$ となる。

$\sqrt{x^2+4x} \approx x (1 + \frac{1}{2} \frac{4}{x} - \frac{1}{8} (\frac{4}{x})^2 + \dots) = x(1+\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2} + \dots) = x+2 - \frac{2}{x} + \dots$

したがって、$\sqrt{x^2+4x} - ax - b \approx x+2-\frac{2}{x} - ax - b = (1-a)x + (2-b) - \frac{2}{x} + \dots$

この極限が $3$ になるためには、$x \to \infty$ で $x$ の項が残ってはいけないので、$1-a=0$ となる必要がある。

したがって、$a=1$ である。

このとき、与えられた極限は、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x - b) = 3$ となる。

$\sqrt{x^2+4x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+4x} - x)(\sqrt{x^2+4x} + x)}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{(x^2+4x) - x^2}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{4x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x}} + x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}} + 1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x - b) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x) - b = 2 - b = 3$ となる。

よって、$b = 2-3 = -1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$