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与えられた6つの関数 $z$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分する問題です。

解析学偏微分多変数関数
2025/7/27

1. 問題の内容

与えられた6つの関数 zz を xx と yy でそれぞれ偏微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) z=x3+y3−3axyz = x^3 + y^3 - 3axy
* xx で偏微分: ∂z∂x=3x2−3ay\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3ay
* yy で偏微分: ∂z∂y=3y2−3ax\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3ax
(2) z=x2+y2=(x2+y2)12z = \sqrt{x^2 + y^2} = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}
* xx で偏微分: ∂z∂x=12(x2+y2)−12⋅2x=xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
* yy で偏微分: ∂z∂y=12(x2+y2)−12⋅2y=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
(3) z=eaxcos⁡byz = e^{ax} \cos{by}
* xx で偏微分: ∂z∂x=aeaxcos⁡by\frac{\partial z}{\partial x} = ae^{ax} \cos{by}
* yy で偏微分: ∂z∂y=eax(−bsin⁡by)=−beaxsin⁡by\frac{\partial z}{\partial y} = e^{ax} (-b\sin{by}) = -be^{ax} \sin{by}
(4) z=log⁡(x2+y2)z = \log{(x^2 + y^2)}
* xx で偏微分: ∂z∂x=1x2+y2⋅2x=2xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}
* yy で偏微分: ∂z∂y=1x2+y2⋅2y=2yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}
(5) z=xyz = x^y
* xx で偏微分: ∂z∂x=yxy−1\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}
* yy で偏微分: ∂z∂y=xylog⁡x\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \log{x}
(6) z=sin⁡−1xyz = \sin^{-1}{\frac{x}{y}}
* xx で偏微分: ∂z∂x=11−(xy)2⋅1y=1y2−x2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{y})^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}
* yy で偏微分: ∂z∂y=11−(xy)2⋅(−xy2)=−xyy2−x2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{y})^2}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{-x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}

3. 最終的な答え

(1)
∂z∂x=3x2−3ay\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3ay
∂z∂y=3y2−3ax\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3ax
(2)
∂z∂x=xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
∂z∂y=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
(3)
∂z∂x=aeaxcos⁡by\frac{\partial z}{\partial x} = ae^{ax} \cos{by}
∂z∂y=−beaxsin⁡by\frac{\partial z}{\partial y} = -be^{ax} \sin{by}
(4)
∂z∂x=2xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}
∂z∂y=2yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}
(5)
∂z∂x=yxy−1\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}
∂z∂y=xylog⁡x\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \log{x}
(6)
∂z∂x=1y2−x2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}
∂z∂y=−xyy2−x2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}

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