関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の増減表を作成します（凹凸・変曲点は調べなくてもよい）。 (2) 関数 $y = f(x)$ の極値を求めます。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の増減表を作成します（凹凸・変曲点は調べなくてもよい）。

(2) 関数 $y = f(x)$ の極値を求めます。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^3 + x^2 - 2x$

$f'(x) = x(x^2 + x - 2)$

$f'(x) = x(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 0, 1$

次に、$f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|--------|--------|------|--------|------|--------|------|--------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -2, 0, 1$ における $f(x)$ の値を求めます。

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3 + 4 - 12 + 32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|--------|--------|------|--------|------|--------|------|--------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | 8/3 | ↓ | 9/4 | ↑ |

(2) 極値の計算

$x = -2$ のとき、極小値 $f(-2) = 0$

$x = 0$ のとき、極大値 $f(0) = \frac{8}{3}$

$x = 1$ のとき、極小値 $f(1) = \frac{9}{4}$

(3) グラフの概形

増減表から、グラフは $x = -2$ で極小値0をとり、$x = 0$ で極大値8/3をとり、$x=1$で極小値9/4をとる。xが十分大きいとき、$x^4/4$が支配的になるので、$x \rightarrow \infty$のとき、$y \rightarrow \infty$となる。同様に、$x \rightarrow -\infty$のとき、$y \rightarrow \infty$となる。

3. 最終的な答え

(1) 増減表

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|--------|--------|------|--------|------|--------|------|--------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | 8/3 | ↓ | 9/4 | ↑ |

(2) 極値

極小値：$f(-2) = 0$, $f(1) = \frac{9}{4}$

極大値：$f(0) = \frac{8}{3}$

(3) グラフの概形：

増減表と極値の情報からグラフの概形を描くことができます（ここではグラフを描画する機能がないため、説明のみにとどめます）。