曲線 $y=e^x$ 上を動く点Pの時刻 $t$ における座標を $(x(t), y(t))$ とする。点Pの速度ベクトルを $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$、加速度ベクトルを $\vec{a} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$ とする。すべての時刻 $t$ で $|\vec{v}| = 1$ かつ $\frac{dx}{dt} > 0$ であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点Pが点 $(s, e^s)$ を通過する時刻における速度ベクトル $\vec{v}$ を $s$ を用いて表せ。 (2) 点Pが点 $(s, e^s)$ を通過する時刻における加速度ベクトル $\vec{a}$ を $s$ を用いて表せ。 (3) 点Pが曲線全体を動くとき、 $|\vec{a}|$ の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

曲線 $y=e^x$ 上を動く点Pの時刻 $t$ における座標を $(x(t), y(t))$ とする。点Pの速度ベクトルを $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$、加速度ベクトルを $\vec{a} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$ とする。すべての時刻 $t$ で $|\vec{v}| = 1$ かつ $\frac{dx}{dt} > 0$ であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点Pが点 $(s, e^s)$ を通過する時刻における速度ベクトル $\vec{v}$ を $s$ を用いて表せ。

(2) 点Pが点 $(s, e^s)$ を通過する時刻における加速度ベクトル $\vec{a}$ を $s$ を用いて表せ。

(3) 点Pが曲線全体を動くとき、 $|\vec{a}|$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = e^x$ より $\frac{dy}{dt} = e^x \frac{dx}{dt}$ である。

$|\vec{v}| = 1$ より、

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 1$

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(e^x \frac{dx}{dt}\right)^2 = 1$

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 (1 + e^{2x}) = 1$

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = \frac{1}{1 + e^{2x}}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$ （$\frac{dx}{dt} > 0$ より）

よって、$\frac{dy}{dt} = e^x \frac{dx}{dt} = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$

点Pが $(s, e^s)$ を通過するとき、$x = s$ であるから、

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}}$

したがって、$\vec{v} = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}}\right)$

(2)

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}\right) = -\frac{1}{2} (1 + e^{2x})^{-3/2} (2e^{2x}) \frac{dx}{dt} = -\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{3/2}} \frac{dx}{dt}$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{3/2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} = -\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}\right) = \frac{e^x \frac{dx}{dt} \sqrt{1 + e^{2x}} - e^x \frac{1}{2}(1 + e^{2x})^{-1/2} (2e^{2x}) \frac{dx}{dt}}{1 + e^{2x}}$

$= \frac{e^x \frac{dx}{dt} (1 + e^{2x}) - e^{3x} \frac{dx}{dt}}{(1 + e^{2x})^{3/2}} = \frac{e^x \frac{dx}{dt}}{(1 + e^{2x})^{3/2}} = \frac{e^x}{(1 + e^{2x})^2}$

点Pが $(s, e^s)$ を通過するとき、$x = s$ であるから、

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2}$

したがって、$\vec{a} = \left(-\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2}\right)$

(3)

$|\vec{a}| = \sqrt{\left(-\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}\right)^2 + \left(\frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2}\right)^2} = \sqrt{\frac{e^{4s} + e^{2s}}{(1 + e^{2s})^4}} = \sqrt{\frac{e^{2s} (e^{2s} + 1)}{(1 + e^{2s})^4}} = \frac{e^s}{ (1 + e^{2s})^{3/2}}$

$f(s) = |\vec{a}| = \frac{e^s}{ (1 + e^{2s})^{3/2}}$ とおくと、

$f'(s) = \frac{e^s (1 + e^{2s})^{3/2} - e^s \cdot \frac{3}{2} (1 + e^{2s})^{1/2} (2e^{2s})}{ (1 + e^{2s})^3} = \frac{e^s (1 + e^{2s}) - 3e^{3s}}{(1 + e^{2s})^{5/2}} = \frac{e^s + e^{3s} - 3e^{3s}}{(1 + e^{2s})^{5/2}} = \frac{e^s - 2e^{3s}}{(1 + e^{2s})^{5/2}}$

$f'(s) = 0$ のとき、$e^s - 2e^{3s} = 0$ より $e^s(1 - 2e^{2s}) = 0$

$1 - 2e^{2s} = 0$ より $e^{2s} = \frac{1}{2}$

$e^s = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(s) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{ (1 + \frac{1}{2})^{3/2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{ (\frac{3}{2})^{3/2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{v} = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}}\right)$

(2) $\vec{a} = \left(-\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2}\right)$

(3) $|\vec{a}|$ の最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$