$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求める問題です。

解析学極限有理化関数の極限

2025/7/27

1. 問題の内容

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})

を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、有理化を行います。つまり、

\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}

を分子と分母にかけます。

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}

分子を計算すると、

(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}) = (x+2) - (x+1) = 1

となります。

したがって、

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}

x \to \infty

のとき、

\sqrt{x+2} \to \infty

と

\sqrt{x+1} \to \infty

となり、

\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty

となります。したがって、

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0

3. 最終的な答え

0

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