$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用する。

与式を以下のように変形する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}}$

さらに変形する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}$

ここで、$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$、$5x \to 0$ であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ となる。

よって、

$\frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$