$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+3x} - ax$ の形を変形します。

$\sqrt{x^2+3x} - ax = \frac{(\sqrt{x^2+3x} - ax)(\sqrt{x^2+3x} + ax)}{\sqrt{x^2+3x} + ax} = \frac{x^2+3x - a^2x^2}{\sqrt{x^2+3x} + ax} = \frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2+3x} + ax}$

この式をさらに変形します。

$\frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2+3x} + ax} = \frac{(1-a^2)x + 3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + a}$

$x \to \infty$ のとき、この式が収束するためには、$1-a^2 = 0$ である必要があります。

したがって、$a^2 = 1$ であり、$a = \pm 1$ です。

しかし、$a=-1$ の場合、$\sqrt{x^2+3x}+ax$ は常に正であり、正の無限大に発散してしまうため、考える必要はありません。

$a = 1$ の場合を考えます。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{3}{2}$

したがって、$a=1$ のとき、極限値は $\frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$

極限値 $= \frac{3}{2}$