与えられた定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この定積分を解くために、置換積分を用います。

$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x \, dx$ となります。したがって、$\sin x \, dx = -du$ です。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$u = \cos 0 = 1$

$x=\pi$ のとき、$u = \cos \pi = -1$

よって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx = \int_{1}^{-1} u^4 (-du) = - \int_{1}^{-1} u^4 \, du$

積分範囲の上下を反転させると符号が変わるので、

$- \int_{1}^{-1} u^4 \, du = \int_{-1}^{1} u^4 \, du$

$u^4$ は偶関数なので、積分は以下のようになります。

$\int_{-1}^{1} u^4 \, du = 2 \int_{0}^{1} u^4 \, du$

積分を実行します。

$2 \int_{0}^{1} u^4 \, du = 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$