与えられた関数 $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$ を解析する必要があります。通常、このような問題では、グラフの概形を描くために、微分を計算して増減表を作成したり、漸近線を求めたりします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$ を解析する必要があります。通常、このような問題では、グラフの概形を描くために、微分を計算して増減表を作成したり、漸近線を求めたりします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開して整理します。

$y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1}$

次に、この関数を微分して、$dy/dx$ を求めます。商の微分公式を使用します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^2 - 2x + 1$、 $v = x^2 + 1$ とします。

$u' = 2x - 2$、 $v' = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-2)(x^2+1) - (x^2-2x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{2x^3 + 2x - 2x^2 - 2 - (2x^3 - 4x^2 + 2x)}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{2x^3 + 2x - 2x^2 - 2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{2x^2 - 2}{(x^2+1)^2}$

$= \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2+1)^2}$

次に、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\frac{2(x^2 - 1)}{(x^2+1)^2} = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| dy/dx| + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 2 | 減少 | 0 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$y = \frac{(-1-1)^2}{(-1)^2+1} = \frac{(-2)^2}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{(1-1)^2}{1^2+1} = \frac{0}{2} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$y = 1$ は漸近線です。

3. 最終的な答え

関数の増減、極値、漸近線は以下の通りです。

- $x = -1$ で極大値 $y = 2$ をとる。

- $x = 1$ で極小値 $y = 0$ をとる。

- $y = 1$ は漸近線である。