不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分法を利用します。

* $u = x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

* したがって、$du = 2x dx$、つまり $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

これを用いて積分を書き換えると、

$\int xe^{x^2} dx = \int e^{x^2} x dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$

となります。

$\int e^u du = e^u + C$ (Cは積分定数) より、

$\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$

最後に、$u = x^2$ を代入して、

$\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$ (Cは積分定数)