次の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int 2x(x^2 + 1)^{-3} dx$ (2) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int 2x(x^2 + 1)^{-3} dx$

(2) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x(x^2 + 1)^{-3} dx$ の計算

置換積分を行います。

$u = x^2 + 1$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、

$\int 2x(x^2 + 1)^{-3} dx = \int u^{-3} du$

$u^{-3}$ の不定積分は $\frac{u^{-2}}{-2} + C$ なので、

$\int u^{-3} du = -\frac{1}{2} u^{-2} + C$

$u = x^2 + 1$ を代入すると、

$-\frac{1}{2}(x^2+1)^{-2} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)^2} + C$

(2) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$ の計算

置換積分を行います。

$v = x^2 + x + 1$ とおくと、$dv = (2x+1) dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{v} dv$

$\frac{1}{v}$ の不定積分は $\ln |v| + C$ なので、

$\int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C$

$v = x^2 + x + 1$ を代入すると、

$\ln |x^2+x+1| + C = \ln (x^2+x+1) + C$ ($x^2+x+1$ は常に正なので絶対値は不要)

3. 最終的な答え

(1) $\int 2x(x^2 + 1)^{-3} dx = -\frac{1}{2(x^2+1)^2} + C$

(2) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \ln (x^2+x+1) + C$