連続関数 $f(x)$ に対して、$\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) dt$ を求める問題です。

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ に対して、$\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) dt$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積分区間が $x$ の関数になっているので、微分積分学の基本定理と合成関数の微分（chain rule）を使います。

まず、$F(t)$ を $f(t)$ の原始関数、つまり $F'(t) = f(t)$ とします。

すると、

$\int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) dt = F(1+x^2) - F(1-x^2)$

となります。

次に、この式の $x$ による微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \int_{1-x^2}^{1+x^2} f(t) dt = \frac{d}{dx} [F(1+x^2) - F(1-x^2)]$

合成関数の微分を使うと、

$\frac{d}{dx} F(1+x^2) = F'(1+x^2) \cdot \frac{d}{dx} (1+x^2) = f(1+x^2) \cdot (2x)$

$\frac{d}{dx} F(1-x^2) = F'(1-x^2) \cdot \frac{d}{dx} (1-x^2) = f(1-x^2) \cdot (-2x)$

したがって、

$\frac{d}{dx} [F(1+x^2) - F(1-x^2)] = f(1+x^2)(2x) - f(1-x^2)(-2x) = 2x[f(1+x^2) + f(1-x^2)]$

3. 最終的な答え

$2x[f(1+x^2) + f(1-x^2)]$