与えられた二つの定積分を計算します。 問題1: $\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx$ 問題2: $\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの定積分を計算します。

問題1: $\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx$

問題2: $\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

2. 解き方の手順

問題1:

まず、積分の中身の関数 $f(x) = x^2 + 4$ の不定積分を求めます。

$\int (x^2 + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 4x + C$

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx = [\frac{1}{3}x^3 + 4x]_{-2}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 + 4(2)) - (\frac{1}{3}(-2)^3 + 4(-2)) = (\frac{8}{3} + 8) - (-\frac{8}{3} - 8) = \frac{8}{3} + 8 + \frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{16}{3} + \frac{48}{3} = \frac{64}{3}$

問題2:

被積分関数 $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ を見ると、$x^2 + 1$ を微分すると $2x$ になることに気づきます。

そこで、$u = x^2 + 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x = -3$ のとき $u = (-3)^2 + 1 = 10$、$x = 3$ のとき $u = (3)^2 + 1 = 10$。

$\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \int_{10}^{10} \frac{1}{u} du = 0$

または、$h(x)=\frac{2x}{x^2+1}$は奇関数であることに注目します。

$h(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-2x}{x^2 + 1} = -h(x)$

したがって、$\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2 + 1} dx = 0$

3. 最終的な答え

問題1: $\frac{64}{3}$

問題2: 0