次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}} ((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}} ((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$

2. 解き方の手順

この問題は、リーマン和を用いて解くことができます。まず、与えられた式をシグマ記号を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}} \sum_{k=1}^{n} (n+k)^9$

次に、$\frac{1}{n}$ をくくり出して、式を整理します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{(n+k)^9}{n^9}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{n+k}{n})^9$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{k}{n})^9$

ここで、$x_k = 1 + \frac{k}{n}$ とおくと、$x_k$ は $1$ から $2$ まで $n$ 等分された点を表します。したがって、上記の極限は、積分で表すことができます。

$\int_{1}^{2} x^9 dx$

積分を計算します。

$\int_{1}^{2} x^9 dx = [\frac{1}{10}x^{10}]_{1}^{2} = \frac{1}{10}(2^{10} - 1^{10}) = \frac{1}{10}(1024 - 1) = \frac{1023}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{1023}{10}$