与えられた5つの定積分を計算する問題です。 問1: $\int_{-1}^{2} (x^2 + x) dx$ 問2: $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ 問3: $\int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx$ 問4: $\int_{-1}^{0} e^x dx$ 問5: $\int_{1}^{e} \frac{x-2}{x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの定積分を計算する問題です。

問1: $\int_{-1}^{2} (x^2 + x) dx$

問2: $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$

問3: $\int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx$

問4: $\int_{-1}^{0} e^x dx$

問5: $\int_{1}^{e} \frac{x-2}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

問1: $\int_{-1}^{2} (x^2 + x) dx$

まず、不定積分を求めます:

$\int (x^2 + x) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$

次に、定積分を計算します:

$\int_{-1}^{2} (x^2 + x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{2} = (\frac{1}{3}(2^3) + \frac{1}{2}(2^2)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2) = (\frac{8}{3} + 2) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{14}{3} - \frac{1}{6} = \frac{28}{6} - \frac{1}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

問2: $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$

不定積分を求めます:

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

定積分を計算します:

$\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

問3: $\int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx$

不定積分を求めます:

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

定積分を計算します:

$\int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_{3}^{6} = \ln(6) - \ln(3) = \ln(\frac{6}{3}) = \ln(2)$

問4: $\int_{-1}^{0} e^x dx$

不定積分を求めます:

$\int e^x dx = e^x + C$

定積分を計算します:

$\int_{-1}^{0} e^x dx = \left[ e^x \right]_{-1}^{0} = e^0 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$

問5: $\int_{1}^{e} \frac{x-2}{x^2} dx = \int_{1}^{e} (\frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}) dx = \int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - 2x^{-2}) dx$

不定積分を求めます:

$\int (\frac{1}{x} - 2x^{-2}) dx = \ln|x| - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = \ln|x| + \frac{2}{x} + C$

定積分を計算します:

$\int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - 2x^{-2}) dx = \left[ \ln|x| + \frac{2}{x} \right]_{1}^{e} = (\ln(e) + \frac{2}{e}) - (\ln(1) + \frac{2}{1}) = (1 + \frac{2}{e}) - (0 + 2) = 1 + \frac{2}{e} - 2 = \frac{2}{e} - 1$

3. 最終的な答え

問1: $\frac{9}{2}$

問2: $\frac{14}{3}$

問3: $\ln(2)$

問4: $1 - \frac{1}{e}$

問5: $\frac{2}{e} - 1$