与えられた極限を計算します。問題は次の通りです。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は次の通りです。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形をしています。リーマン和を用いて定積分に変換します。

$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k\pi}{n}$ を考えると、$f(x) = \sin(\pi x)$ とおけば、これは区間$[0, 1]$におけるリーマン和とみなせます。よって、極限は次の定積分で表されます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k\pi}{n} = \int_0^1 \sin(\pi x) \, dx$

定積分を計算します。

$\int_0^1 \sin(\pi x) \, dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi) - \left( -\frac{1}{\pi} \cos(0) \right) = -\frac{1}{\pi} (-1) + \frac{1}{\pi} (1) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\pi}$