次の関数の増減と凹凸を調べてグラフを描き、極値と変曲点を求める問題です。 (1) $y = x^3 - 3x + 1$ (2) $y = x^4 - 4x^3 + 3$ (3) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ (4) $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

1. 問題の内容

次の関数の増減と凹凸を調べてグラフを描き、極値と変曲点を求める問題です。

(1) $y = x^3 - 3x + 1$

(2) $y = x^4 - 4x^3 + 3$

(3) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$

(4) $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x + 1$

まず、一階微分を求めます。

$y' = 3x^2 - 3$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

次に、二階微分を求めます。

$y'' = 6x$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x = 0$

$x = 0$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ であり、$y'' = 6(-1) = -6 < 0$ なので、$x = -1$ で極大値 3 をとります。

$x = 1$ のとき $y = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ であり、$y'' = 6(1) = 6 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値 -1 をとります。

$x = 0$ のとき $y = (0)^3 - 3(0) + 1 = 1$ であり、$y'' = 0$ となるので、$x=0$ で変曲点を持ちます。変曲点は (0, 1) です。

(2) $y = x^4 - 4x^3 + 3$

一階微分を求めます。

$y' = 4x^3 - 12x^2$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^3 - 12x^2 = 0$

$4x^2(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

二階微分を求めます。

$y'' = 12x^2 - 24x$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 24x = 0$

$12x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

$x = 0$ のとき $y = (0)^4 - 4(0)^3 + 3 = 3$ であり、$y'' = 12(0)^2 - 24(0) = 0$ となり、増減表を書く必要があります。

$x = 3$ のとき $y = (3)^4 - 4(3)^3 + 3 = 81 - 108 + 3 = -24$ であり、$y'' = 12(3)^2 - 24(3) = 108 - 72 = 36 > 0$ なので、$x = 3$ で極小値 -24 をとります。

$x = 2$ のとき $y = (2)^4 - 4(2)^3 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$ であり、$y''=0$ となるので、$x=2$ で変曲点を持ちます。変曲点は (2, -13) です。

$x=0$ 付近の増減を調べると、$x=0$ で極値をとらないことが分かります。$x=0$ も変曲点です。変曲点は (0, 3) です。

(3) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$

一階微分を求めます。

$y' = \frac{(-2x)(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1 + x^2)^2} = \frac{-4x}{(1 + x^2)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4x = 0$

$x = 0$

二階微分を求めます。

$y'' = \frac{-4(1 + x^2)^2 - (-4x)2(1 + x^2)(2x)}{(1 + x^2)^4} = \frac{-4(1 + x^2) + 16x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{-4 - 4x^2 + 16x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{12x^2 - 4}{(1 + x^2)^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 4 = 0$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = 0$ のとき $y = \frac{1 - 0^2}{1 + 0^2} = 1$ であり、$y'' = \frac{12(0)^2 - 4}{(1 + 0^2)^3} = -4 < 0$ なので、$x = 0$ で極大値 1 をとります。

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $y = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$ であり、$x = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $y = \frac{1}{2}$ です。

変曲点は $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2})$ と $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2})$ です。

(4) $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

一階微分を求めます。

$y' = \frac{-(-e^{-x})}{(1 + e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}$

$y' > 0$ より、常に増加関数です。

二階微分を求めます。

$y'' = \frac{-e^{-x}(1 + e^{-x})^2 - e^{-x}(2)(1 + e^{-x})(-e^{-x})}{(1 + e^{-x})^4} = \frac{-e^{-x}(1 + e^{-x}) + 2e^{-2x}}{(1 + e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x} - e^{-2x} + 2e^{-2x}}{(1 + e^{-x})^3} = \frac{e^{-2x} - e^{-x}}{(1 + e^{-x})^3} = \frac{e^{-x}(e^{-x} - 1)}{(1 + e^{-x})^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x} - 1 = 0$

$e^{-x} = 1$

$x = 0$

$x = 0$ のとき $y = \frac{1}{1 + e^{-0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

$x = 0$ で変曲点を持ちます。変曲点は (0, 1/2) です。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: 3 (x = -1), 極小値: -1 (x = 1), 変曲点: (0, 1)

(2) 極小値: -24 (x = 3), 変曲点: (0, 3), (2, -13)

(3) 極大値: 1 (x = 0), 変曲点: $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2})$

(4) 変曲点: (0, 1/2)