関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、偏微分 $f_x(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、偏微分 $f_x(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続でないことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$f_x(x, y)$ を計算する。

$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$の場合、

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{|xy|} = \frac{1}{2\sqrt{|xy|}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} |xy| = \frac{1}{2\sqrt{|xy|}} \cdot |y| \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{y}{2\sqrt{|xy|}} \cdot \frac{x}{|x|}$

ここで、$x=0$または$y=0$のとき、$f(x,y) = 0$となる。

したがって、偏微分の定義より

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

次に、$f_x(x, y)$ の連続性を調べる。

$f_x(x, y)$ が $(0, 0)$ で連続であるならば、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f_x(x, y) = f_x(0, 0) = 0$ でなければならない。

しかし、$y = x$ に沿って $(0, 0)$ に近づくと、

$f_x(x, x) = \frac{x}{2\sqrt{|x^2|}} \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{x}{2|x|} \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{x^2}{2|x|^2} = \frac{1}{2}$

よって、$x \to 0$ とすると、$\lim_{x \to 0} f_x(x, x) = \frac{1}{2}$

一方、$y = -x$ に沿って $(0, 0)$ に近づくと、

$f_x(x, -x) = \frac{-x}{2\sqrt{|-x^2|}} \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{-x}{2|x|} \cdot \frac{x}{|x|} = -\frac{x^2}{2|x|^2} = -\frac{1}{2}$

よって、$x \to 0$ とすると、$\lim_{x \to 0} f_x(x, -x) = -\frac{1}{2}$

したがって、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f_x(x, y)$ は存在しない。

なぜなら、近づき方によって異なる値に収束するため。

3. 最終的な答え

$f_x(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続ではない。