積分 $\int \frac{-x+5}{x^2-x-2} dx$ を計算します。

はい、承知しました。画像の積分問題を解きます。

1. 問題の内容

積分 $\int \frac{-x+5}{x^2-x-2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ なので、

$\frac{-x+5}{x^2-x-2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-2)(x+1)$ をかけると

$-x+5 = A(x+1) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき

$-2+5 = A(2+1) + B(2-2)$

$3 = 3A$

$A = 1$

$x = -1$ のとき

$-(-1)+5 = A(-1+1) + B(-1-2)$

$6 = -3B$

$B = -2$

よって、$\frac{-x+5}{x^2-x-2} = \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x+1}$ となります。

積分は

$\int \frac{-x+5}{x^2-x-2} dx = \int \left( \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x+1} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x-2} dx - \int \frac{2}{x+1} dx$

$= \log|x-2| - 2\log|x+1| + C$

$= \log|x-2| - \log|(x+1)^2| + C$

$= \log\left| \frac{x-2}{(x+1)^2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\log\left| \frac{x-2}{(x+1)^2} \right| + C$