不定積分 $\int \frac{e^{3x}}{(e^x+1)^2} dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{e^{3x}}{(e^x+1)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = e^x$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{e^x} dt = \frac{1}{t} dt$ となります。したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{e^{3x}}{(e^x+1)^2} dx = \int \frac{t^3}{(t+1)^2} \frac{1}{t} dt = \int \frac{t^2}{(t+1)^2} dt$

ここで、被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{t^2}{(t+1)^2} = \frac{(t+1-1)^2}{(t+1)^2} = \frac{(t+1)^2 - 2(t+1) + 1}{(t+1)^2} = 1 - \frac{2}{t+1} + \frac{1}{(t+1)^2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{t^2}{(t+1)^2} dt = \int \left(1 - \frac{2}{t+1} + \frac{1}{(t+1)^2}\right) dt = t - 2\ln|t+1| - \frac{1}{t+1} + C$

最後に、$t = e^x$ を代入して、

$e^x - 2\ln(e^x+1) - \frac{1}{e^x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{e^{3x}}{(e^x+1)^2} dx = e^x - 2\ln(e^x+1) - \frac{1}{e^x+1} + C$