領域 $D = \{(x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ 上で、二重積分 $\iint_D xy \, dx \, dy$ を計算します。ここで、$a > 0$、$b > 0$ です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ 上で、二重積分 $\iint_D xy \, dx \, dy$ を計算します。ここで、$a > 0$、$b > 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x = ar\cos\theta$、$y = br\sin\theta$ と変数変換します。このとき、ヤコビアンは次のようになります。

$$$$

\frac{\partial(x,y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\

\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}

\end{vmatrix}

= \begin{vmatrix}

a\cos\theta & -ar\sin\theta \\

b\sin\theta & br\cos\theta

\end{vmatrix}

= abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr

$$$$

したがって、$dx\,dy = abr\,dr\,d\theta$ となります。

領域 $D$ は $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ に変換されます。

したがって、積分は次のようになります。

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\iint_D xy \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (ar\cos\theta)(br\sin\theta) abr \, dr \, d\theta = a^2b^2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta

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積分を計算します。

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a^2b^2 \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 d\theta = \frac{a^2b^2}{4} \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta

$$$$

ここで、$\int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{2\pi} = -\frac{1}{4} (\cos(4\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{4} (1 - 1) = 0$ となります。

したがって、

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\iint_D xy \, dx \, dy = \frac{a^2b^2}{4} \times 0 = 0

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3. 最終的な答え

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