領域 $D = \{(x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算します。ここで、$a > 0$、$b > 0$ です。

わかりました。画像の二重積分の問題を解きます。今回は、(5) の問題を解きます。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算します。ここで、$a > 0$、$b > 0$ です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、変数変換 $x = au$、$y = bv$ を用います。このとき、$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = u^2 + v^2$ となり、領域 $D$ は領域 $D' = \{(u, v) | u^2 + v^2 \leq 1\}$ に変換されます。

ヤコビアンを計算します。

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\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\

\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

a & 0 \\

0 & b

\end{vmatrix} = ab

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したがって、二重積分は次のようになります。

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\iint_D xy \, dxdy = \iint_{D'} (au)(bv) |ab| \, dudv = a^2 b^2 \iint_{D'} uv \, dudv

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ここで、$D'$ は単位円板なので、極座標変換 $u = r\cos\theta$、$v = r\sin\theta$ を行います。このとき、$0 \leq r \leq 1$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$、$dudv = rdrd\theta$ となります。

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\iint_{D'} uv \, dudv = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r\cos\theta)(r\sin\theta) r \, drd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, drd\theta

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積分を計算します。

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\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, drd\theta = \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \left( \int_0^1 r^3 \, dr \right) d\theta

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\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}

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\int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0

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したがって、

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\iint_{D'} uv \, dudv = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0

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よって、

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\iint_D xy \, dxdy = a^2 b^2 \cdot 0 = 0

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3. 最終的な答え

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