問題1は、与えられた4つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x(2-x)} dx$ (2) $\int_{-3}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx$ (3) $\int_{0}^{e^2} \log x dx$ (4) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

## 問題1の解答

1. 問題の内容

問題1は、与えられた4つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x(2-x)} dx$

(2) $\int_{-3}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx$

(3) $\int_{0}^{e^2} \log x dx$

(4) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて積分を計算します。

$\frac{1}{x(2-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2-x}$とおくと、

$1 = A(2-x) + Bx$

$x=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=2$ のとき、$1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{x(2-x)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{2-x})$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x(2-x)} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{2-x}) dx = \frac{1}{2} [\log |x| - \log |2-x|]_1^2 = \frac{1}{2} [\log |\frac{x}{2-x}|]_1^2$

ここで、$x \to 2$ のとき $\log |\frac{x}{2-x}| \to \infty$ となるので、

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} [\log |\frac{x}{2-x}|]_1^{2-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} (\log |\frac{2-\epsilon}{\epsilon}| - \log |\frac{1}{1}|) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} \log |\frac{2-\epsilon}{\epsilon}| = \infty$

(2) $\int \frac{1}{x^2+9} dx = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$ を用いて積分を計算します。

$\int_{-3}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-3}^{b} \frac{1}{x^2+9} dx = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3})]_{-3}^{b} = \lim_{b \to \infty} (\frac{1}{3} \arctan(\frac{b}{3}) - \frac{1}{3} \arctan(-1)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{3} (\frac{3\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

(3) 部分積分を用いて積分を計算します。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x + C$

$\int_{0}^{e^2} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{e^2} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} [x \log x - x]_{\epsilon}^{e^2} = \lim_{\epsilon \to 0} [(e^2 \log e^2 - e^2) - (\epsilon \log \epsilon - \epsilon)] = \lim_{\epsilon \to 0} [(2e^2 - e^2) - (\epsilon \log \epsilon - \epsilon)] = e^2 - \lim_{\epsilon \to 0} \epsilon \log \epsilon + \lim_{\epsilon \to 0} \epsilon$

ここで、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon \log \epsilon = 0$より、

$\int_{0}^{e^2} \log x dx = e^2 - 0 + 0 = e^2$

(4) 部分積分を用いて積分を計算します。

$\int \frac{\log x}{x^2} dx$

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \frac{1}{x} dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{\log x + 1}{x} + C$

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{\log x}{x^2} dx = \lim_{b \to \infty} [-\frac{\log x + 1}{x}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (-\frac{\log b + 1}{b} - (-\frac{\log 1 + 1}{1})) = \lim_{b \to \infty} (-\frac{\log b + 1}{b} + 1) = 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) $\frac{\pi}{4}$

(3) $e^2$

(4) $1$

## 問題2の解答

1. 問題の内容

問題2は、与えられた広義積分の収束・発散を調べる問題です。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x^3+1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[1, \infty)$ で $\frac{\cos x}{\sqrt{x^3+1}}$ が連続であることに注意します。

$\sqrt{x^3+1}$ は $x \ge 1$ で正の値をとるため、積分は広義積分になります。

$\left| \frac{\cos x}{\sqrt{x^3+1}} \right| \le \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} \le \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x^{3/2}}$

ここで、$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} dx$ は収束します。（$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ は $p > 1$ で収束する）

実際、$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-3/2} dx = \lim_{b \to \infty} [-2x^{-1/2}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (-\frac{2}{\sqrt{b}} - (-2)) = 0 + 2 = 2$

したがって、優関数定理より、$\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は絶対収束し、収束します。

3. 最終的な答え

収束