方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = x^2$ と $y = ae^x$ のグラフの交点の個数が3つとなるような $a$ の範囲を考えます。

$a$ が正である必要があります。なぜなら、$a$が負であるか0の時、$ae^x$は負または0になるため、$x^2$との交点が3つになることはないからです。

$a > 0$ のもとで、$ae^x = x^2$ を $a = x^2 e^{-x}$ と変形します。

ここで、$f(x) = x^2 e^{-x}$ とおき、$y = f(x)$ のグラフを描き、$y = a$ との交点が3つになるような $a$ の範囲を考えます。

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = xe^{-x}(2 - x)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときです。

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

$0 < x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 2$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、

$x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$ をとり、

$x = 2$ で極大値 $f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ をとります。

また、$x \to \infty$ で、$f(x) \to 0$ です。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点が3つになるのは、$0 < a < \frac{4}{e^2}$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{4}{e^2}$