次の定積分の値を求めます。 $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x dx$

2. 解き方の手順

$\cos x = t$ と置換します。

すると、$-\sin x dx = dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$t = \cos 0 = 1$

$x = \pi$ のとき、$t = \cos \pi = -1$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x dx = \int_{1}^{-1} t^4 (-dt) = - \int_{1}^{-1} t^4 dt = \int_{-1}^{1} t^4 dt$

$t^4$は偶関数なので、

$\int_{-1}^{1} t^4 dt = 2 \int_{0}^{1} t^4 dt$

$\int t^4 dt = \frac{t^5}{5} + C$

したがって、

$2 \int_{0}^{1} t^4 dt = 2 [\frac{t^5}{5}]_{0}^{1} = 2 (\frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5}) = 2 (\frac{1}{5} - 0) = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$