画像に示された数学の問題は、微分、n次導関数の表示、および極限を求める問題を含みます。具体的には以下の通りです。 (1) $(x^2 + x + 1)^5$ の微分 (2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ の微分 (3) $\sqrt{1 + \sin x}$ の微分 (4) $\log (\log x)$ の微分 (5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ の微分 (6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ の微分 (7) $xe^{2x}$ のn次導関数の表示 (8) $\frac{4}{x^2 - 4}$ のn次導関数の表示 (9) $x^2 \sin x$ のn次導関数の表示 (10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ の計算 (11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$ の計算 (12) $\lim_{x \to +0} x^x$ の計算

1. 問題の内容

画像に示された数学の問題は、微分、n次導関数の表示、および極限を求める問題を含みます。具体的には以下の通りです。

(1) $(x^2 + x + 1)^5$ の微分

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ の微分

(3) $\sqrt{1 + \sin x}$ の微分

(4) $\log (\log x)$ の微分

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ の微分

(6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ の微分

(7) $xe^{2x}$ のn次導関数の表示

(8) $\frac{4}{x^2 - 4}$ のn次導関数の表示

(9) $x^2 \sin x$ のn次導関数の表示

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ の計算

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$ の計算

(12) $\lim_{x \to +0} x^x$ の計算

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + x + 1)^5$ の微分

合成関数の微分を行います。$y = u^5$, $u = x^2 + x + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (2x + 1) = 5(x^2 + x + 1)^4 (2x + 1)$

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ の微分

三角関数の公式 $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ より、 $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)$。

$\frac{d}{dx}(-\cos(2x)) = 2\sin(2x)$

(3) $\sqrt{1 + \sin x}$ の微分

$y = \sqrt{u}$, $u = 1 + \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(4) $\log (\log x)$ の微分

$y = \log u$, $u = \log x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ の微分

$\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} \log (\frac{1+x}{1-x}) = \frac{1}{2} (\log(1+x) - \log(1-x))$.

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2} (\log(1+x) - \log(1-x))) = \frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}) = \frac{1}{2} \frac{1-x+1+x}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.

(6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ の微分

$y = \sin^{-1} u$, $u = \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{\sqrt{5}})^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4x^2 + 4x + 1}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 4x^2 - 4x}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 - 4x - 4x^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{1 - x - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x - x^2}}$.

(7) $xe^{2x}$ のn次導関数の表示

ライプニッツの公式を使います。

$y = xe^{2x}$。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)} = {}_n C_0 x (e^{2x})^{(n)} + {}_n C_1 (x)' (e^{2x})^{(n-1)} = x \cdot 2^n e^{2x} + n \cdot 1 \cdot 2^{n-1} e^{2x} = (2^n x + n 2^{n-1})e^{2x}$

$y^{(n)} = 2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2 - 4}$ のn次導関数の表示

部分分数分解します。 $\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$。

$4 = A(x+2) + B(x-2)$。

$x = 2$ のとき $4 = 4A \implies A = 1$

$x = -2$ のとき $4 = -4B \implies B = -1$

$\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$.

$(\frac{1}{x-2})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-2)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x+2})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}}$

$(\frac{4}{x^2 - 4})^{(n)} = (-1)^n n! (\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}})$.

(9) $x^2 \sin x$ のn次導関数の表示

ライプニッツの公式を使います。

$y = x^2 \sin x$。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^2)^{(k)} (\sin x)^{(n-k)} = {}_n C_0 x^2 (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 (x^2)' (\sin x)^{(n-1)} + {}_n C_2 (x^2)'' (\sin x)^{(n-2)}$

$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n\pi}{2})$.

$y^{(n)} = x^2 \sin (x + \frac{n\pi}{2}) + n(2x) \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} 2 \sin (x + \frac{(n-2)\pi}{2})$.

$y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin (x + \frac{(n-2)\pi}{2})$.

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ の計算

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin^4 x = (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)^4 = x^4 + O(x^6)$

$1 - \frac{x^2}{2} - \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} - (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots) = -\frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{24} + O(x^6)}{x^4 + O(x^6)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{24} + O(x^2)}{1 + O(x^2)} = -\frac{1}{24}$

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$ の計算

$\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x}{x \sin x} = \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots - x}{x(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)} = \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \dots}{x^2 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^6}{120} - \dots} = \frac{-\frac{x}{6} + \frac{x^3}{120} + \dots}{1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{6} + \frac{x^3}{120} + \dots}{1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots} = 0$

(12) $\lim_{x \to +0} x^x$ の計算

$y = x^x$

$\log y = x \log x$

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$. (形式的に $\frac{-\infty}{\infty}$ となるので、ロピタルの定理を使う)

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$.

$\lim_{x \to +0} \log y = 0$.

$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$.

$\lim_{x \to +0} x^x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $5(x^2 + x + 1)^4 (2x + 1)$

(2) $2\sin(2x)$

(3) $\frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(4) $\frac{1}{x \log x}$

(5) $\frac{1}{1-x^2}$

(6) $\frac{1}{\sqrt{1 - x - x^2}}$

(7) $2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$

(8) $(-1)^n n! (\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}})$

(9) $x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin (x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(10) $-\frac{1}{24}$

(11) $0$

(12) $1$