次の4つの関数について、増減を調べ、グラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$ (2) $y = x\sqrt{3 - x}$ (3) $y = (x + 1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$) (4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

1. 問題の内容

次の4つの関数について、増減を調べ、グラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$

(2) $y = x\sqrt{3 - x}$

(3) $y = (x + 1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$)

(4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減を調べます。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$

* 導関数を計算する。

$y' = \frac{-2x}{(x^2 + 4)^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$-2x = 0$ より $x = 0$

* 増減表を作成する。

| x | ... | 0 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - |

| y | ↑ | 1/4 | ↓ |

* $x = 0$ で極大値 $y = \frac{1}{4}$ をとる。

* $x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 0$。

* グラフはy軸に関して対称となる。

(2) $y = x\sqrt{3 - x}$

* 定義域は $3 - x \ge 0$ より、$x \le 3$。

* 導関数を計算する。

$y' = \sqrt{3 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{3(2 - x)}{2\sqrt{3 - x}}$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$2 - x = 0$ より $x = 2$

* 増減表を作成する。

| x | ... | 2 | ... | 3 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | |

| y | ↑ | 2 | ↓ | 0 |

* $x = 2$ で極大値 $y = 2$ をとる。

* $x = 3$ で $y = 0$。

* $x \to -\infty$ のとき、$y \to -\infty$。

(3) $y = (x + 1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$)

* 導関数を計算する。

$y' = e^{-x} + (x + 1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x + 1)e^{-x} = -xe^{-x}$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$-x = 0$ より $x = 0$

* 増減表を作成する。

| x | -2 | ... | 0 | ... | 2 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | | + | 0 | - | |

| y | -e^2 | ↑ | 1 | ↓ | 3/e^2|

* $x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとる。

* $x = -2$ のとき $y = -e^2$。

* $x = 2$ のとき $y = 3e^{-2} = \frac{3}{e^2}$。

(4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

* 導関数を計算する。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \log x = 0$ より $\log x = 1$, したがって $x = e$

* 増減表を作成する。

| x | | e | | e^2 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | |

| y | | 1/e | ↓ | 2/e^2|

* $x = e$ で極大値 $y = \frac{1}{e}$ をとる。

* $x = e^2$ のとき $y = \frac{2}{e^2}$。

* $\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x} = -\infty$

3. 最終的な答え

各関数の増減表と極値に基づいてグラフを描きます（グラフの具体的な形状は省略）。

(1) $x = 0$ で極大値 $y = \frac{1}{4}$ をとる。

(2) $x = 2$ で極大値 $y = 2$ をとる。

(3) $x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとる。$x = -2$ で $y = -e^2$, $x = 2$ で $y = \frac{3}{e^2}$。

(4) $x = e$ で極大値 $y = \frac{1}{e}$ をとる。$x = e^2$ で $y = \frac{2}{e^2}$。