次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$

2. 解き方の手順

まず、$y = (1 - \frac{1}{n})^n$ と置きます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = n \ln (1 - \frac{1}{n})$

ここで、$x = \frac{1}{n}$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となるので、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-x)}{x}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1-x} = -1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = -1$

ここで、$y = e^{\ln y}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} y = e^{\lim_{n \to \infty} \ln y} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$