$\lim_{x \to \infty} \frac{\log_e(e^x + x^2)}{x+1}$ を求める問題です。 与えられた画像には、この極限を求める過程が書かれていますが、その過程が正しいかどうかを検証する必要があります。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log_e(e^x + x^2)}{x+1}$ を求める問題です。 与えられた画像には、この極限を求める過程が書かれていますが、その過程が正しいかどうかを検証する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、ロピタルの定理を使用することを考えます。$x \to \infty$のとき、$\log_e(e^x + x^2) \to \infty$ かつ $x+1 \to \infty$ なので、$\frac{\infty}{\infty}$の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{\log_e(e^x + x^2)}{x+1}$ の分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx} \log_e(e^x + x^2) = \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2}$

分母の微分：

$\frac{d}{dx} (x+1) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log_e(e^x + x^2)}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2}$

再び、$x \to \infty$のとき、$\frac{e^x + 2x}{e^x + x^2}$は$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx} (e^x + 2x) = e^x + 2$

分母の微分：

$\frac{d}{dx} (e^x + x^2) = e^x + 2x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 2}{e^x + 2x}$

もう一度、$x \to \infty$のとき、$\frac{e^x + 2}{e^x + 2x}$は$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx} (e^x + 2) = e^x$

分母の微分：

$\frac{d}{dx} (e^x + 2x) = e^x + 2$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 2}{e^x + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{e^x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{e^x}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{e^x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{e^x}} = \frac{1}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

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