了解しました。画像に写っている積分問題を解きます。

了解しました。画像に写っている積分問題を解きます。

全部解くのは大変なので、いくつか選んで解きます。

**

1. 問題の内容**

画像には以下の積分問題が含まれています。

1. $\int \frac{x^3 + 2}{x} dx$

2. $\int \frac{dx}{x(x-1)^2}$

3. $\int \frac{dx}{x \sqrt{x+1}}$

4. $\int \sin(2x) \cos(3x) dx$

5. $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

6. $\int x e^{-ax} dx$

7. $\int \sin^4 x dx$

**

2. 解き方の手順**

**

1. $\int \frac{x^3 + 2}{x} dx$**

積分を分割します。

$\int \frac{x^3 + 2}{x} dx = \int \frac{x^3}{x} + \frac{2}{x} dx = \int x^2 + \frac{2}{x} dx$

それぞれの項を積分します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln |x| + C_2$

したがって、

$\int \frac{x^3 + 2}{x} dx = \frac{x^3}{3} + 2 \ln |x| + C$

**

2. $\int \frac{dx}{x(x-1)^2}$**

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

両辺に $x(x-1)^2$ を掛けると、

$1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

$x=0$ のとき、$1 = A(-1)^2$ より $A = 1$

$x=1$ のとき、$1 = C(1)$ より $C = 1$

展開して整理すると、

$1 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + Cx$

$1 = (A+B)x^2 + (-2A - B + C)x + A$

$A+B = 0$ より $B = -A = -1$

よって、

$\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$

積分は、

$\int \frac{dx}{x(x-1)^2} = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= \ln|x| - \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C$

$= \ln|\frac{x}{x-1}| - \frac{1}{x-1} + C$

**

3. $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$**

$u = e^x + e^{-x}$ と置換すると、

$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

$du = (e^x - e^{-x}) dx$

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |e^x + e^{-x}| + C$

**

3. 最終的な答え**

1. $\int \frac{x^3 + 2}{x} dx = \frac{x^3}{3} + 2 \ln |x| + C$

2. $\int \frac{dx}{x(x-1)^2} = \ln|\frac{x}{x-1}| - \frac{1}{x-1} + C$

3. $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \ln |e^x + e^{-x}| + C$