点 $(2, 1)$ から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線が囲む図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(2, 1)$ から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線が囲む図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ 上の点 $(t, t^2 - 3t + 4)$ における接線の方程式を求めます。

$y' = 2x - 3$ より、接線の傾きは $2t - 3$ です。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(x - t)$

この接線が点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(2 - t)$

$1 - t^2 + 3t - 4 = 4t - 2t^2 - 6 + 3t$

$-t^2 + 3t - 3 = -2t^2 + 7t - 6$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

よって、接点の座標は $(1, 2)$ と $(3, 4)$ です。

それぞれの接線の方程式は、

$t = 1$ のとき、$y - 2 = (2(1) - 3)(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x + 3$

$t = 3$ のとき、$y - 4 = (2(3) - 3)(x - 3) \Rightarrow y - 4 = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 5$

次に、2つの接線の交点を求めます。

$-x + 3 = 3x - 5 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$

$y = -2 + 3 = 1$

交点は $(2, 1)$ となります。

放物線と2本の接線で囲まれた領域の面積は、積分で求められます。

求める面積を $S$ とすると、

$S = \int_1^3 (x^2 - 3x + 4) - (-x + 3) dx + \int_1^3 (3x - 5) - (x^2 - 3x + 4) dx$

しかし、これでは計算が複雑になるので、積分区間を分けて計算します。

$S = \int_1^3 |x^2 - 3x + 4 - (-x+3) |dx$

$S = \int_1^3 |x^2 - 2x + 1| dx = \int_1^3 (x-1)^2 dx$

$S = [\frac{1}{3} (x-1)^3 ]_1^3 = \frac{1}{3} (3-1)^3 - \frac{1}{3} (1-1)^3 = \frac{1}{3} (2^3) - 0 = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$

積分を正しく行うには、各接線と放物線で囲まれた領域を個別に計算して、小さい方の面積を答える必要があります。

求める面積は $\frac{4}{3}$ となります。

最終的な答え：

4/3