数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^{n+1} - n - 2$ で与えられているとき、以下の問いに答えます。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求めます。 (2) 和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k + 1}$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^{n+1} - n - 2$ で与えられているとき、以下の問いに答えます。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求めます。

(2) 和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k + 1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求めるためには、$n \ge 2$ のとき $a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$ となります。

まず、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^{n+1} - n - 2) - (2^{(n-1)+1} - (n-1) - 2) = (2^{n+1} - n - 2) - (2^n - n + 1 - 2) = 2^{n+1} - 2^n - n + n - 1 - 2 + 1 + 2 = 2^{n+1} - 2^n - 1 = 2^n(2-1) - 1 = 2^n - 1$.

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2^{1+1} - 1 - 2 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

$a_n = 2^n - 1$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

したがって、$a_n = 2^n - 1$ は $n=1$ のときも成り立つので、全ての $n$ に対して $a_n = 2^n - 1$ です。

(2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k + 1}$ を求めるためには、まず $\frac{1}{a_k + 1}$ を計算します。

$a_k = 2^k - 1$ なので、$a_k + 1 = 2^k - 1 + 1 = 2^k$.

よって、$\frac{1}{a_k + 1} = \frac{1}{2^k}$.

したがって、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k + 1} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k$.

これは初項 $\frac{1}{2}$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{2} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^n - 1$

(2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k + 1} = 1 - \frac{1}{2^n}$