関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ の増減表を作成する。凹凸・変曲点は調べなくて良い。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ の増減表を作成する。凹凸・変曲点は調べなくて良い。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

(3) $x$ の値の範囲によって、$f'(x)$ の符号を調べる。

(4) $f'(x)$ の符号から、$f(x)$ の増減を判定する。

(5) 増減表を作成する。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = \frac{4x^3}{4} + \frac{3x^2}{3} - 2x = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f'(x) = x(x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 0, 1$

次に、$x$ の値の範囲によって、$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < -2$ のとき、$f'(x) < 0$

$-2 < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

$0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$

次に、$f(x)$ の増減を判定する。

$x < -2$ のとき、$f(x)$ は減少

$-2 < x < 0$ のとき、$f(x)$ は増加

$0 < x < 1$ のとき、$f(x)$ は減少

$x > 1$ のとき、$f(x)$ は増加

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$f(0) = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{9}{3} - 1 = \frac{1}{4} + 3 - 1 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :--- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 0 | 増加 | 8/3 | 減少 | 9/4 | 増加 |