与えられた3つの関数について、導関数を考察することでグラフの概形を描き、極大値、極小値、漸近線を求める問題です。 (1) $y = f(x) = x^2 - 2x + 1$ (2) $y = f(x) = x^3 - x$ (3) $y = f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、導関数を考察することでグラフの概形を描き、極大値、極小値、漸近線を求める問題です。

(1) $y = f(x) = x^2 - 2x + 1$

(2) $y = f(x) = x^3 - x$

(3) $y = f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x) = x^2 - 2x + 1$ の場合

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 2x - 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - 2 = 0$

$x = 1$

次に、2階導関数を求めます。

$f''(x) = 2$

$x = 1$ で $f''(1) = 2 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値を取ります。

極小値は $f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0$ です。

この関数は2次関数なので、漸近線はありません。

(2) $y = f(x) = x^3 - x$ の場合

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 1 = 0$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

次に、2階導関数を求めます。

$f''(x) = 6x$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で $f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} > 0$ なので、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で極小値を取ります。

極小値は $f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 3}{3\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$ です。

$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $f''(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -2\sqrt{3} < 0$ なので、$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で極大値を取ります。

極大値は $f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 3}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ です。

この関数は3次関数なので、漸近線はありません。

(3) $y = f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ の場合

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - \frac{2}{x^2} = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$x^3 = 1$

$x = 1$

次に、2階導関数を求めます。

$f''(x) = 2 + \frac{4}{x^3}$

$x = 1$ で $f''(1) = 2 + 4 = 6 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値を取ります。

極小値は $f(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$ です。

$x=0$ で定義されないため、$x=0$ が漸近線となります。

3. 最終的な答え

(1)

極小値: $x = 1$ で $0$

極大値: なし

漸近線: なし

(2)

極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$

極大値: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

漸近線: なし

(3)

極小値: $x = 1$ で $3$

極大値: なし

漸近線: $x = 0$