SENSEI AI
About App

$k$ を実数の定数とする。 $\tan \theta = k$ ...(1) $2\cos \theta + 1 \ge 0$ ...(2) (1) $k=1$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ において、(1) を解け。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ において、(2) を解け。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ における (1) の解は 2 個ある。その 2 個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めよ。 (4) (2) で求めた $\theta$ の値の範囲における (1) の解が、2 個あるときを考える。その 2 個の解を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。 (i) $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (ii) $\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

解析学三角関数方程式不等式tancos解の範囲
2025/7/27

1. 問題の内容

kk を実数の定数とする。
tan⁡θ=k\tan \theta = k ...(1)
2cos⁡θ+1≥02\cos \theta + 1 \ge 0 ...(2)
(1) k=1k=1 のとき、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi において、(1) を解け。
(2) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi において、(2) を解け。
(3) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi における (1) の解は 2 個ある。その 2 個の解の和が 43π\frac{4}{3}\pi となるような kk の値を求めよ。
(4) (2) で求めた θ\theta の値の範囲における (1) の解が、2 個あるときを考える。その 2 個の解を α,β(α<β)\alpha, \beta (\alpha < \beta) とする。
(i) kk のとり得る値の範囲を求めよ。
(ii) α+β≥74π\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi となるような kk の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) k=1k=1 のとき、tan⁡θ=1\tan \theta = 1 を解く。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で、tan⁡θ=1\tan \theta = 1 となる θ\theta は θ=π4,5π4\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} である。
(2) 2cos⁡θ+1≥02\cos \theta + 1 \ge 0 より、cos⁡θ≥−12\cos \theta \ge -\frac{1}{2} である。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲でこれを満たす θ\theta の範囲は、cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta が θ=2π3,4π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} なので、θ\theta の範囲は 0≤θ≤2π30 \le \theta \le \frac{2\pi}{3} または 4π3≤θ<2π\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi である。
(3) tan⁡θ=k\tan \theta = k の解が2つあるということは、kkが任意の実数を取りうることを意味する。tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi であるから、2つの解を θ1\theta_1 と θ2=θ1+π\theta_2 = \theta_1 + \pi とおくことができる。このとき、θ1+θ2=2θ1+π=43π\theta_1 + \theta_2 = 2\theta_1 + \pi = \frac{4}{3}\pi より、2θ1=13π2\theta_1 = \frac{1}{3}\pi なので、θ1=π6\theta_1 = \frac{\pi}{6} である。よって、tan⁡π6=k\tan \frac{\pi}{6} = k より、k=13=33k = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} である。
(4) (i) (2) より、cos⁡θ≥−12\cos \theta \ge -\frac{1}{2} であり、この範囲で tan⁡θ=k\tan \theta = k の解が 2 個ある条件を考える。
cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta は θ=2π3,4π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} である。tan⁡θ\tan \theta は θ=π2,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} で定義されないので注意する。
θ\theta の範囲は 0≤θ≤2π30 \le \theta \le \frac{2\pi}{3} または 4π3≤θ<2π\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi である。
θ=0\theta = 0 のとき tan⁡θ=0\tan \theta = 0 であり、θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} のとき tan⁡θ=−3\tan \theta = -\sqrt{3} である。
θ=4π3\theta = \frac{4\pi}{3} のとき tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3} であり、θ→2π\theta \to 2\pi のとき tan⁡θ→0\tan \theta \to 0 である。
したがって、−3≤k<0-\sqrt{3} \le k < 0 または k≥3k \ge \sqrt{3} である。
(ii) α+β≥74π\alpha + \beta \ge \frac{7}{4}\pi となる kk の範囲を求める。α,β\alpha, \beta は tan⁡θ=k\tan \theta = k の解なので、β=α+π\beta = \alpha + \pi である。よって、α+β=2α+π≥74π\alpha + \beta = 2\alpha + \pi \ge \frac{7}{4}\pi より、2α≥34π2\alpha \ge \frac{3}{4}\pi なので、α≥38π\alpha \ge \frac{3}{8}\pi である。
α≤2π3\alpha \le \frac{2\pi}{3} であるから、38π≤α≤2π3\frac{3}{8}\pi \le \alpha \le \frac{2\pi}{3} である。
α+π=β≥43π\alpha + \pi = \beta \ge \frac{4}{3}\pi なので、α≥π3\alpha \ge \frac{\pi}{3} である。
したがって、π3≤α≤2π3\frac{\pi}{3} \le \alpha \le \frac{2\pi}{3} または 4π3≤α<2π\frac{4\pi}{3} \le \alpha < 2\pi である。
この問題の範囲では、−3≤k<0-\sqrt{3} \le k < 0 および k≥3k \ge \sqrt{3} の範囲でのみ定義されます。そこで、π3≤α≤2π3\frac{\pi}{3} \le \alpha \le \frac{2\pi}{3} であるとき、−3≤k≤−33-\sqrt{3} \le k \le -\frac{\sqrt{3}}{3} となり、4π3≤α<2π\frac{4\pi}{3} \le \alpha < 2\pi のとき、k≥3k \ge \sqrt{3} となります。
tan⁡3π8\tan \frac{3\pi}{8} の値は計算が難しいので、tan⁡(π−3π8)=tan⁡5π8=−(2+1)\tan(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \tan \frac{5\pi}{8} = -(\sqrt{2}+1) となり、tan⁡3π8=−tan⁡5π8=2−1 \tan \frac{3\pi}{8}= -\tan \frac{5\pi}{8} = \sqrt{2} - 1 となる。
α+β=α+α+π=2α+π≥74π  ⟹  2α≥34π  ⟹  α≥3π8\alpha + \beta = \alpha + \alpha + \pi = 2\alpha + \pi \ge \frac{7}{4}\pi \implies 2\alpha \ge \frac{3}{4}\pi \implies \alpha \ge \frac{3\pi}{8}
tan⁡3π8\tan \frac{3\pi}{8} の値を計算する。
k≥tan⁡(3π8)  ⟹  k≥2−1k \ge \tan (\frac{3\pi}{8} ) \implies k \ge \sqrt{2}-1
−3≤k≤−33=−(2+1)-\sqrt{3} \le k \le -\frac{\sqrt{3}}{3} = -(\sqrt{2}+1).
4π3≤α<2π\frac{4\pi}{3} \le \alpha < 2\pi に対して　k≥3 k \ge \sqrt{3}.

3. 最終的な答え

(1) θ=π4,5π4\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}
(2) 0≤θ≤2π30 \le \theta \le \frac{2\pi}{3} または 4π3≤θ<2π\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi
(3) k=33k = \frac{\sqrt{3}}{3}
(4) (i) −3≤k<0-\sqrt{3} \le k < 0 または k≥3k \ge \sqrt{3}
(ii) k≥3k \ge \sqrt{3}

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = x|x|$ が $C^2((-1, 1))$ に属さないことを示す問題です。ここで、$C^2((-1, 1))$ は区間 $(-1, 1)$ で2回連続微分可能な関数の集合を表し...

微分連続性導関数2回微分可能性
2025/7/27

与えられた重積分を、変数変換を用いて計算する問題です。具体的には以下の5つの積分を解きます。 (1) $\iint_D x^2 dxdy$, $D = \{(x,y); 0 \le x - y \le...

重積分変数変換ヤコビアン極座標変換
2025/7/27

関数 $f(x) = |x|$ が $C^2((-1, 1))$ に属さないことを示せ。 ここで、$C^2((-1, 1))$ は、開区間 $(-1, 1)$ で２回連続微分可能な関数の集合を表します...

微分連続性微分可能性絶対値関数関数解析
2025/7/27

領域 $D = \{(x, y); 0 \le x - y \le 1, 0 \le x + y \le 1\}$ 上で、2重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ の値を、変数変換を用いて計算し...

多変数関数2重積分変数変換ヤコビアン
2025/7/27

与えられた3つの積分を計算します。 (2) $\int e^{\sqrt{x}} dx$ (3) $\int e^{ax} \cos{x} dx$ (4) $\int x\log(1+x) dx$

積分置換積分部分積分不定積分
2025/7/27

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を計算します。

極限ロピタルの定理指数関数対数関数
2025/7/27

$\int \sin^4 x \, dx$ を計算してください。

積分三角関数半角の公式
2025/7/27

問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を求めることです。

極限数列自然対数ロピタルの定理マクローリン展開
2025/7/27

与えられた2つの積分を計算します。 (1) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx$ (2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx...

積分三角関数置換積分
2025/7/27

与えられた積分 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ を計算します。

積分置換積分部分分数分解定積分
2025/7/27